Pian

Symmetria, antisymmetria ja symmetrian murtaminen I


Elävät asiat on tulkittava maailmankaikkeuden malleja tulkittaessa. Se ei ole ainutlaatuinen Homo sapiens sapiensille (Hoss), mutta tämä laji on ainoa tiedetty ymmärtävän, että yksinkertaisiin asioihin on rajattomia mahdollisuuksia.

Luonnolliset luvut N ovat malli yksinkertaisimmalle laskennalle:

N = {0, 1, 2, 3, ...}.

Yksinkertainen laskentaprosessi sisältää kaksi toimintoa luonnollisilla lukuilla, nimittäin "+": n lisäämisen ja "×". Toisin sanoen peruslaskentajärjestelmä koostuu kahdesta järjestelmästä. Lisäainejärjestelmässä on erotettu elementti “0” (nolla) ja kertova järjestelmässä on erotettu elementti “1” (yksi).

Sanomme, että áN, +, 0ñ ja áN, ×, 1ñ ovat monoideja, ts. Molemmilla on neutraali elementti niiden toiminnalle.

+ 0 = = 0 +,

×1 = = 1×

mille tahansa elementille N: ssä

Lisäysoperaatio tulee luonnollisesti Hoss-lajien suorittamista laskelmista, mutta kertolasku on vähemmän luonnollinen. Toistuvien termien lisäämisen yksinkertaistamiseksi, toisin sanoen ajatuksen, ajan, tilan jne. Säästämiseksi, Hoss-näytteet keksivat kertolaskun. Siten näemme, että lisäyksen ja kertolaskujen välillä on epäsymmetria sen alkuperässä. Lisäaineet ja kertoimet monoidit áN, +, 0ñ ja áN, ×, 1ñ on joitain samankaltaisuuksia.

Esimerkiksi, molemmat ovat puoliryhmiä, toisin sanoen molemmat tyydyttävät assosiatiivisen ominaisuuden:

+ (b + C) = ( + b) + C,

× (b × C) = ( × b) × C

kaikille elementeille , b ja C maasta N.

Ohitettaessa havaitsemme, että summaus- ja kertolaskutoiminnot esiintyvät samanaikaisesti hyvin, toisin sanoen kertolasku jakautuu luonnollisesti kertolaskuun nähden:

× (b + C) = × b + × C

Siksi on luonnollista kysyä, eikö nämä kaksi puoliryhmää voineet yhdistyä muodostamaan yhden ja suuremman puoliryhmän.

Toinen välittömästi esiin nouseva kysymys on: onko universumissa muita luonnollisia puoliryhmiä?

Jos joku Hossin yksilö halusi tehdä tämän tutkimuksen, mitä hän voisi tehdä?

On vaikea löytää tapa tutkia vain abstraktisti. Seuraakaamme siis yhtä mahdollisista polkuista, joka on historiallinen polku.

Hoss-matemaatikot eivät pystyneet ratkaisemaan yhtälöä x + = 0 puoliryhmässä áN, +, 0ñ. He havaitsivat, että ongelmana oli symmetrian puute tässä puoliryhmässä. Se voidaan havaita esittämällä geometrisesti luonnollisia lukuja viivalla. Pisteet ovat kaikki yhdellä puolella vain nollasta. Toisin sanoen puoliksi suora viiva voi sisältää kaikki luonnolliset numerot ja siten suoralla on tarpeeton puoli.

Idea nousi yllättäen jatkamaan muiden puoliryhmien olemassaolon tutkimusta maailmankaikkeudessa. Yhtä voidaan yrittää ratkaista yhtälöt ja esittää geometrisesti esitetyt uudet numerosarjat keinona löytää enemmän puoliryhmiä maailmankaikkeudessa.

Näin Hossin ns. Matemaattiset näytteet loivat luonnollisten lukujen negatiivit. Luonnolukujen geometrisesta esityksestä tuli symmetrinen ja tyypin jokaisesta yhtälöstä x + = 0 voidaan ratkaista negatiivisilla luontoilla.

Kaikki luonnolliset"Nyt on negatiivinen" - Ja siksi meillä on:

x + = 0 Þ (x + ) + (-) = 0 + (-) Þ x + ( + (-)) = - Þ x + 0 = - Þ x = -.

Uusi puoliryhmä on z, +, 0ñ, missä Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} kutsuttiin kokonaislukujoukkoksi. Z-kirjain on lainattu saksan kielen numerosta "zahlen".

Hoss-lajien mieli toimii epälineaarisesti ja erittäin dynaamisesti. On heti kysyttävä, tapahtuuko sama ilmiö moninkertaistuvassa puoliryhmässä áN, ×, Ensimmäinen. Eli analoginen yhtälö x× = 1: llä ei ole myöskään ratkaisua paitsi tapaus = 1. Heti kun kysymys herää useita luonnollisia ja mielenkiintoisia ongelmia.

Jatketaksesi moninkertaista puoliryhmää áN, ×, 1 - AZ, ×Matemaatikkojen piti ratkaista seuraavat mielenkiintoiset ongelmat.

(a) Kuinka kertoa negatiiviset kokonaisluvut? Jatkaisiko kertolasku ajatuksen, ajan ja tilan talouden perusteella? Esimerkiksi, jos negatiivinen summa, joka summataan viisi kertaa itsessään, tuottaa negatiivisen summan, joten positiivinen luku kertaa negatiivinen tuottaisi negatiivisen tuotteen?

(b) Kuinka kaksi puoliryhmää voisivat esiintyä yhdessä rakenteessa, esimerkiksi AZ, +, 0, ×, 1ñ?

c) Olisiko se edelleen yhdistävän omaisuuden arvoinen?

Hoss-lajien luovuus on keksinyt yksinkertaisen ratkaisun: aivan kuten puoliryhmät áN, +, 0ñ ja áN, ×, 1ñ voisi luonnollisesti esiintyä rinnakkain jakautuvan ominaisuuden kautta, uusi rakenne AZ, +, 0, ×1ñ: llä ei olisi ongelmaa tunnustaa samaa sääntöä, ja kertoaminen säästää edelleen ajatusta, aikaa ja tilaa.

Oli kuitenkin maksettava hinta. Harkitse esimerkiksi tasa-arvoa (1 - 1) × (1 - 1) = 0. Jos kyseessä on assosiatiiviset ja jakautuvat ominaisuudet, meillä on:

(1 - 1) × (1 - 1) = 0 Þ (1)×(1) + (1)×(-1) + (-1) ×(1) + (-1)×(-1) = 0 Þ 1 - 1 - 1 + (-1)×(-1) = 0

Þ - 1 + (-1)×(-1) = 0.

Me näemme, että hinta, joka maksetaan halua laajentaa luonnollisia puoliryhmiä ja ratkaista yhtälöitä, on myöntää, että (-1)×(-1) on oltava kokonaisluku tarkalleen vastapäätä -1.

Nyt sitten (-1)×(-1) on oltava 1. Maksettavan velan jäljellä oleva määrä on myöntäminen, että

(-)×(-b) = ×b,

kuten voidaan nähdä samasta päätelmästä yllä. Siksi "negatiivisen kerran negatiivisen on oltava positiivinen".

Jokainen vastasyntynyt olento ansaitsee nimen. Uusi rakenne z, +, 0, ×, 1, distributivañ, joka mahtuu samaan ympäristöön additiiviset ja moninkertaistuvat luonnolliset puoliryhmät, sai renkaan nimen. Vaikka se on paljon symmetrisempi kuin luonnollinen puoliryhmä, se ei riitä yhtälöiden ratkaisemiseen. x× = b.

Sitten Hossin ääretön uteliaisuus keksi käänteisiä kokonaislukuja: jokainen kokonaisluku paitsi nolla on kertominen käänteinen -1. Siten syntyi leveämpi rengas: áQ, +, 0, ×, 1, distributivañ, fraktioiden rengas.

Q-kirjain tuli sanasta quotient, koska lauseke b×-1 tulkittiinb jaettuna , Eli murto-osa b/.

Joten jokainen yhtälö x× = bkanssa ¹ 0, nyt on ratkaisu renkaassa áQ, +, 0, ×, 1, jakelu:

x× = b Þ (x×)×-1 = Þ x×(×-1) = b×-1 Þ x×1 = b×-1 Þ x = b×-1.

Matemaattiset näytteet sanovat usein, että puoliryhmä az, +, 0ñ on ryhmä, koska kaikki on käänteinen lisäaine -a, tai vastapäätä . Samoin puoliryhmä áQ, +, 0ñ on myös ryhmä.

Mitä tulee puoliryhmään áQ, ×, 1ñ, samaa ei voida sanoa, koska 0: lla ei ole kertoja käänteistä. Yhtälö 0× = 1: llä ei ole ratkaisua universumeissa, joissa 0 ¹ 1, koska 0× = 0 kaikille .

Tätä epäsymmetriaa ei siis voida vahvistaa, koska 0: lla ei voi olla kertolaskua käänteistä, vaikka sen additiivinen käänteinen, eli päinvastainen, on itse.

Nyt kysymys on tietenkin: mikä on fraktioiden renkaan kapasiteetti q, +, 0, ×, 1, distributivañ ratkaise yhtälöt, koska niiden geometrinen esitys on symmetrinen ja täyttää viivan paljon paremmin?

Takaisin sarakkeisiin

<