Tiedotus

Tärkeä totuus ennen kolmatta totuutta


Muita sanoja käyttämällä voidaan sanoa, että alajoukon rakentaminen on luvallista b of kiinteistöstä A (x). Me kirjoitamme: b = {x Î : A (x)} ja lue “b on muodostuu sarjoista x jotka kuuluvat ja jotka tyydyttävät omaisuutta ”.

Kun laulajajoukkojen teoria, nimeltään intuitiivinen joukkoteoria, tuli esille, että ”mitä tahansa omaisuutta” voitaisiin pitää niin, että sitä tyydyttävät esineet muodostivat joukon. Siten aina olisi joukko sarjoja, jotka tyydyttävät omaisuuden riippumatta omaisuudesta . Joten matemaatikko ja filosofi Bertrand Russell päätteli seuraavista syistä: harkitse sarjoja x jotka eivät kuulu itselleen. Russellille omaisuutta se oli “x ei kuulu x". Näytti selvältä, että tämä joukko oli olemassa, sillä esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko ei ole luonnollinen luku ja siksi luonnollisten lukujen joukko ei kuulu itsessään. Monet matemaattiset objektit muodostavat joukkoja, jotka eivät kuulu näihin objekteihin. Jos haluat antaa esimerkin matematiikan ulkopuolelta (mikä on turhaa, koska matematiikasta menettämme mahdollisuuden puhua vain ”tiukat totuudet”) vain havainnollistaaksesi hieman enemmän, hevossarja ei ole hevonen, aivan kuten joukko miehiä Se ei ole mies.

Tehdään kuten Russell ja kutsumme M: ksi kaikkien sarjojen sarja. Tarkastellaan M: n osajoukkoa, jonka muodostavat joukot, jotka eivät kuulu itsessään. Russell kysyi, kuuluuko M M: ään. Jos on totta, että M kuuluu M: ään, M tyydyttää ominaisuuden, joka määrittää M: n joukot, ts. M ei kuulu M: ään! Meillä on ristiriita, sillä joukko M ei voi kuulua itseensä eikä samalla kuulua itseensä. No, kuten muinaiskreikkalaiset filosofit olettivat, meillä ei voi olla samanaikaisesti oikeita ja vääriä lausumia, ainakin logiikan mukaan, jonka mukaan he kuvittelivat olevansa oikea. Siksi meidän on pakko päätellä, että M ei kuulu M. Mutta silloin M tyydyttää ominaisuuden, joka määrittää M: n joukot. Siksi M kuuluu M: ään! Ristiriita jälleen. Tämä kaksitahoisuus, ts. Tämä lausunto, joka on totta vain ja vain jos on väärä, aiheutti skandaalin Cantorin asetusteoriassa. Tästä syystä matemaatikko Ernst Zermelo (1871-1956) “luoda”Set Theoryn toinen totuus, joka on aksioma ZF (2) edellä.

Aksioma ZF (2), toisin sanoen Zermelo-Fraenkel-sarjan teorian toinen totuus estää meitä rakentamasta Russellin löytämää antinomiaa. Olettaen, että tämä aksiooma on totta, edellä esitetty Russellin päättely ei ole enää mahdollinen. Syynä on, että emme voi enää rakentaa joukkoa M kaikista sarjoista. Yksinkertaisesti siksi, että ominaisuus yksin ei enää määrittele joukkoa. Meillä on oltava etukäteen asetettu sarja , eli se on jo olemassa , pohtia osajoukkoa sarjoista, jotka täyttävät tietyn ominaisuuden. Siksi emme voi enää vain harkita sarjaa sarjoista, jotka eivät kuulu itsessään. Onko tuo ”joukko x jotka eivät kuulu itselleen”Ei ole yhteinen. Kuten matemaatikko Paul Halmos sanoi:mikään ei sisällä kaikkea". Jätämme sinulle haasteen (ajattele yksinkertaisesti ja rauhallisesti ...): osoita, että se johtuu toisesta totuudesta, eli aksiomista ZF (2)joka kaikkia sarjoja ei ole. On mielenkiintoista huomata, että vaikka meillä ei ole vieläkään syytä sarjojen olemassaoloon, voimme jo osoittaa sen kaikkia sarjoja ei ole. Kirjoita se muistiin: Tähänastisen teorian perusteella emme vieläkään tiedä onko totta, että jotakin joukkoa on olemassa, mutta on totta, että kaikkien sarjojen joukkoa ei ole!

Takaisin sarakkeisiin

<