Yksityiskohtaisesti

Viides totuus


Kuinka voimme tehdä "intuitioiden"liitoksen, leikkauksen, eron, komplementin ja symmetrisen eron, matemaattisten käsitteiden? Aloitetaan risteyksestä. Määrittelemme A: n ja B: n leikkausjoukon joukkoksi, jotka kuuluvat A: n ja B: n joukkoon samanaikaisesti. Millä teoria antaa meille valtuudet antaa tämä määritelmä on, että annetut joukot A ja B muodostavat ei-tyhjän joukon D, jonka kirjoitamme seuraavasti: D = {A, B} Axiom 2: lla, alajoukkojen aksioomilla, voidaan sanoa, että siellä on joukko x: tä, että se "kuuluu A: lle ja B: lle samanaikaisesti", koska tämä ominaisuus viittaa ei-tyhjän joukon D. joukkoihin. Axiom 2 antaa meille valtuudet siis väittää kahden joukon A ja B risteyttävän joukon olemassaolo. Samoin voimme väittää, että annettaessa joukko joukkoja D, on joukko joukkoja x, jotka kuuluvat kaikkiin D ryhmiin. Lyhyesti sanottuna, ottaen huomioon kaksi sarjaa A ja B, on joukko

A Ç B = {x: x kuuluu A: lle ja x kuuluu B: lle}.

Sarjojen A ja B kokoonpanon määrittelemiseksi emme voi edetä samalla tavalla. Toisin sanoen, emme voi osoittaa, että A: n ja B: n joukkojoukkoja on neljästä tähän mennessä olevasta aksioomistamme (aksioomit 0, 1, 2 ja 3). Tarvitsemme uuden aksiooman: Axiom 4, nimeltään Reunion Axiom.

Aksioma 4

Jokaiselle joukolle C on joukko U sellainen, että

jos x kuuluu M: lle, jostain M: lle, joka kuuluu C: lle, x kuuluu U: lle.

Toisin sanoen, ottaen huomioon joukon joukkoja C, on joukko joukkoja joukkoja, jotka kuuluvat johonkin joukkoon C. Voimme silti lukea tämän aksiooman muilla tavoilla. Voimme esimerkiksi sanoa, että jokaiselle annetulle joukolle C on joukko joukkoja, jotka kuuluvat C: n joukkoon. Esimerkiksi, jälleen kerran, voidaan sanoa, että annetut joukot A ja B, ovat joukko joukkoja sarjoja, jotka kuuluvat A: lle ja B: lle samanaikaisesti. Tässä tapauksessa muodostetaan ensin joukko C = {A, B} ja muodostetaan sitten joukko A joukolle, joka kuuluu A: lle tai B: lle. Eli kirjoitamme: U = A È B.

Meillä on nyt viisi aksioomaa, ja viimeisin niistä antaa meille mahdollisuuden muodostaa kokoonpanosarja. Kokousaksioomilla voimme muodostaa "tarjous" -joukon, yleistämällä "parillisen" -joukon käsitteen. Annetut joukot A, B ja C määrittelemme kokousaksiaalin avulla joukon {A, B, C} joukkojen {A}, {B} ja {C} joukkoksi. Huomaa, että joukko {A} on olemassa, koska pariaksioomi sanoo, että {A, A} on asetettu. Eli {A, A} = {A} on uusi sarja. Samoin joukot {B} ja {C} ovat myös olemassa, ja siksi kokousaksioomilla voidaan muodostaa kokousjoukko {A} È {B} È {C} = {A, B, C}.

On mielenkiintoista huomata, että kahden tai useamman sarjan saamiseksi yhteen tarvitsemme uuden aksiooman, kokousaksion. Ehdotamme, että harkitset tämän uuden aksiooman tarvetta. Yritä miettiä, kuinka olisi mahdollista kuvitella kokoonpano ilman, että uutta "totuutta" keksitään ", jotta sitä ei kyseenalaisteta.

B: n komplementti A: han on helppo määritellä: A - B = {x: x kuuluu A: lle, mutta ei B: lle}. Voimme myös sanoa, että A - B on A: n ja B: n välinen ero. Lopuksi A: n ja B: n välinen symmetrinen ero määritellään: A D B = (A - B) È (B - A).

Haaste sinulle: Ole vakuuttunut siitä, että komplementaarinen, ero ja symmetrinen ero eivät vaadi uusia aksioomeja.

Takaisin sarakkeisiin

<


Video: Harry Potter ja Feenixin kilta 2007 (Kesäkuu 2021).