Pian

Symmetria, antisymmetria ja Symmetry Breaking III


Uusi numero, joka on merkitty kirjaimella minä sen omaisuuden kanssa, joka minä2 = -1. Tämä luku ei sovi Euclidean-linjaan, jossa todelliset luvut ovat mahdollistaneet jättäen tilaa muille numeroille. Matemaatikot täyttivät haluavansa geometrisesti edustaa minä valitaan Euklidinen taso, jossa suora viiva edustaa todellista ja kohtisuora viiva, joka kulkee nollan läpi edustamaan puhdasta kuvitteellista. He nimittivät uuden akselin "kuvitteelliseksi akseliksi" ja numeron minä tuli tämän akselin generaattoriksi, aivan kuten todellinen 1 on todellisen akselin generaattori.

Joten mikä tahansa lomakkeen reaaliluku .1: llä on nyt kuvitteellinen analoginen muoto .minä. Välittömästi herää väistämätön kysymys: mikä maailmankaikkeus on tämä, missä todelliset luvut asuvat? ja kuvitteelliset numerot b.minä jossa b onko se totta?

On selvää, että kuvitteellisen akselin keksinnön luonteen vuoksi tämä universumi on Euklidinen taso. Toisin sanoen jokainen tason piste edustaa uutta numeroa, jota kutsumme "kompleksiseksi numeroksi". Näiden numeroiden geometrinen esitys Euclidean-tasolla voidaan tehdä nuolilla, jotka ovat lähtöisin valittujen akseleiden leikkauspisteestä ja joita voidaan esittää koordinaateilla (0, 0) tai lausekkeella 0 = 0 + 0minä.

Olemme jo todenneet, että haluamme säilyttää kaikki todellisten lukujen kehon ominaisuudet. Seuraava väistämätön kysymys on: Onko monimutkaisilla numeroilla myös algebrallinen kehon rakenne? Lukija tietää vastauksen ja on myöntävä. Voimme sanoa, että AC, +, 0, ×, 1, distributivañ on kappale, jossa C = { + bminä: , b Î R} on monimutkaisten numeroiden joukko. Ensimmäinen suuri ero on, että olemme menettäneet tilauksen, joka on yhteensopiva summaus- ja kertolaskutoimintojen kanssa. Toisin sanoen emme voi työskennellä käsityksen kanssa, että "yksi kompleksiluku on pienempi kuin toinen" tavalla, joka on yhteensopiva lisäämisen ja kertoamisen kanssa. Muista, että jos kahdella todellisella numerolla on suhde < b, entä jos C on positiivinen reaaliluku niin ac < BC. Jos sovellamme tätä päättelyä numeroon minäJos oletetaan, että se on positiivinen, saadaan: 0 < minä tarkoittaa 0.minä < minä.minä, eli 0 <-1, mikä on järjetöntä. Samoin ei ole tarkoitus olettaa sitä minä Se on kielteistä. kuten minä Se ei ole nolla, näemme, että reaalilukujen järjestysominaisuuksia ei voida laajentaa monimutkaisiin numeroihin.

Se on kiehtova menetys. Kuuluuko se luonnonilmiöihin vai päinvastoin, sallitaanko hänen käyttäytymisensä enemmän monimuotoisuutta? Tämä on suurin ja vaikein kysymys, joka motivoi meitä kirjoittamaan näitä muistiinpanoja.

Emme saa unohtaa, että minä2 = -1 oli myös “kiehtova”. Itse asiassa meidän on muutettava tämä adjektiivi paremmin "piristeeksi". Meitä estettiin halu laajentaa reaalijärjestystä komplekseihin, mutta toisaalta saimme paljon kyvystä ratkaista polynomiyhtälöitä. Itse asiassa, ei vain yhtälö x2 = -1: llä on nyt ratkaisuja kompleksien universumissa, samoin kuin mikä tahansa muodon polynomi xn + n-1xn-1 +… + 1x + 0 = 0, jossa kertoimet ovat todellisia tai monimutkaisia, on “n ratkaisut ”. Suuri matemaatikko C. F. Gauss antoi meille tämän tiedon tiukasti. Sitten meillä on edessään numeerisen maailmankaikkeuden merkittävä laajentuminen. Siinä voimme poimia n juuret n - hyvin z = + bminä. Paitsi tietysti tapauksissa, joissa 0 jolla on vain yksi juuri n - Se on totta, hän itse. Kaikki muut kompleksiluvut z heillä on n juuret n - n. symmetrisesti jakautuneena kehälle, jonka keskipiste on 0 säde yhtä suuri kuin juuri n - kymmenes etäisyys z että 0 osoitettuun

kirjoittanut |z|.

Kompleksien lukujen algebrallisessa rakenteessa läsnä olevat symmetriat ovat merkittäviä. Emme voi esitellä niitä täällä, mutta meidän on esitettävä heidän vektorirakenne. Jos haluat lisätä kaksi kompleksilukua, z = + bminä ja w = C + dminävoimme kuvitella kaksi pisteessä käytettyä voimaa (0, 0) ja niiden tuloksia z + w = ( + C) + (b + d)minä. Lukijamme tietää tämän tulkinnan "rinnakkaissuunnitelmana". Tämä tulkinta on loistava vektoreiden sovellus luonnon fysiikkaan. On siis väistämätöntä kysyä: mitkä muut fyysisten ilmiöiden tulkinnat ovat mahdollisia vektoreilla?

Luonnon ilmiöihin on lukemattomia monimutkaisten numeroiden sovelluksia. Ensinnäkin monimutkaisten numeroiden sovellukset geometriaan ja muihin matematiikan aloihin ovat fantastisia. Emme voi esitellä heitä täällä, emme edes voi antaa ideaa. Tarvitsemme kuitenkin ajatusta ”vektorikertomuksesta”. Asettamalla, että kompleksisilla lukuilla säilyy niin monta ominaisuutta kuin mahdollista reaalilukuilla, meidän on pakko myöntää se z.w = ( + bminä).(C + dminä) = (ac - bd) + (mainos + BC)minä.

Mutta geometrisesti on tärkeää "nähdä" kertolaskun vaikutus. Joten käyttämällä suuren matemaatikon Leonhard Eulerin löytöä, joka z = |z| jaminäq ja w = |w| jaminäfjossa ja on Eulerin luku ja q ja f edustavat vektorien välisiä kulmia z ja w todellisella akselilla, jota kutsutaan kompleksiarvojen argumentiksi. Joten jos z = + bminäsitten |z| = (2 + b2)1/2, Pythagoran lause, |z| cos q = , |z| Sen q = b, ja Eulerin löytö on kirjoitettu nimellä jaminäq = cos q + minä Sen q .

Eulerin kaavassa on implisiittinen käsitys monimutkaisista voimista, joita emme voi keskustella täällä, mutta muistakaa, että saman tukikohdan voimien kertolasku säilytetään pitämällä pohjaa ja lisäämällä eksponentit. Tämän säännön mukaan voimme kirjoittaa z.w = |z| jaminäq . |w| jaminäf = |z|.|w| jaminä(q +f). Tämä tulos osoittaa selvästi, että kompleksien kertomisen yhteydessä niiden etäisyydet alkuperästä kerrotaan ja heidän argumentit summataan. Tämä monimutkaisen kertomuksen geometrinen tulkinta on erittäin tärkeä ja sitä sovelletaan luonnonilmiöiden tutkimiseen.

Koska olemme kiinnostuneita luonnon ilmiöiden perusteellisimmista sovelluksista, olemme kiinnostuneita mainitsemaan mahdollisuus kertoa monimutkaisista tasovektoreista kahdella muulla tavalla. Ensimmäinen on edustaa joukkojen tekemää työtä z = + bminä olettaen, että hän siirtyy että B. Pisteet ja B voidaan myös edustaa monimutkaisilla numeroilla, joten voimme kirjoittaa B - = w = C + dminä. Fyysinen teoria kertoo meille, että vain z kohti w tuottaa offsetin w. On onnea, että sinulla on yksinkertainen algebrallinen kaava tässä vuorossa tehdyn työn laskemiseksi. Sitä kutsutaan skalaarituotteeksi: z · w = ( + bminä) · (C + dminä) = ac + bd! Tämän kaavan yksinkertaisuus on vieläkin vaikuttavampi, kun muistamme, että fyysikot määrittelivät voimalla tehdyn työn. z siirtymän kanssa w kaavan kautta z · w = |z|.|w| cosajossa on voima z aiheuttaa siirtymisen w. Se johtuu |z|.cosa on voiman voimakkuus, joka liikuttaa vartaloa voimakkuuden muutoksessa |w|.

Voimme osoittaa sen z · w = |z|.|w| cos = ac + bd! Se on loistava kaava, joka johtaa meidät heti kysymykseen: mitä muita yksinkertaisia ​​ja mielenkiintoisia kaavoja on olemassa, joissa kerrotaan vektoreita, jotka mittaavat luonnon ilmiöitä? Yllättäen havaitsemme, että on olemassa vielä yksi sallittu kertolasku monimutkaisille tasovektoreille, joilla on tärkeä fysikaalinen merkitys. Vektorit z = + bminä ja w = C + dminä voidaan tulkita geometrisesti generaattisina sivuina pitkittäissuunnassa |z| ja |w|. Ei lukijan kannalta yllättävää, mikä suuntakuvan alue = |z|.|w| Sen . Kiinnostaako meitä tässä poikkeuksellinen kaava “parallelogram area = |z ´ w |"Missä z ´ w Se on niin kutsuttu lukijamme tunnetuista vektorituotteista.

Tämä tuote mittaa esimerkiksi voiman tuottaman vääntömomentin w levitetään kohtaan, joka määrittää vivun varren z. Tarkemmin sanottuna, mitä haluamme tutkia, on se, että fyysiset suureet, kuten vääntömomentti, esitetään yksinkertaisesti vektorin kertolaskulla, joka on yksi vektorin kertolaskuista. On väistämätöntä kysyä: onko edelleen olemassa muita mahdollisia kertolaskuja vektoreille, joilla on merkityksellinen fysikaalinen merkitys?

Takaisin sarakkeisiin

<