Kommentit

Symmetria, antisymmetria ja Symmetry Breaking IV


Kysyimme: mitkä muut fyysisten ilmiöiden tulkinnat ovat mahdollisia litteillä vektoreilla ja niiden toiminnoilla?

Muista tärkeä kaava laskea perusvoima, että voima z suorittaa vartaloa siirtymää pitkin w, antanut:

z·w = |z|.|w| cos = aA + bb,

jossa on pienin kahdesta kulmasta z = (, b) ja w = (, B). Kutsumme tätä laskutoimitusta ” z mennessä w”.

Olemme havainneet, että on olemassa vielä yksi sallittu kertolasku monimutkaisille tasovektoreille, joilla on tärkeä fysikaalinen merkitys: se on myös lukijamme tiedossa oleva ns. Vektorituote, jonka pituus on sivujen suuntakuvan ala |z| ja |w| antanut |z ´ w | = |z|.|w| Sen jossa z ´ w. On mielenkiintoista muistaa se z ´ w Se on myös vektori, mutta vektori avaruudessa monimutkaisten vektorien tason ulkopuolella. Tämä keksintö ei ole mielivaltainen, sillä on tärkeä fyysinen motivaatio. Tämä tuote keksittiin vektorina, joka oli kohtisuora z ja w, jolla on merkitys oikean käden säännön tai korkkiruuvin säännön perusteella, ja pituutena rinnan, jonka z ja w.

Mutta kuinka se lasketaan? Käytämme tilaisuutta huomata, että fyysikot ovat antaneet yleisen tulkinnan kahden avaruudessa olevan vektorin vektorituotteelle eikä vain monimutkaiselle tasolle. Kaksi vektoria z = (, b, C) ja w = (, B, C) tuottavat vääntömomentin tai monenlaisia ​​muita fyysisiä tulkintoja. Yllättäen tuotteen tuottava matemaattinen toimenpide on yksi ja se suoritetaan menetelmällä, jossa yhdistetään kahden vektorin koordinaatit. Matematiikassa tällä yhdistelmällä on motivaatio symmetrian kauneudessa.

Ymmärtääksemme vektorituotteen syntymistä muistamme, että fyysikoilla on oltava tuote, joka käyttäytyy seuraavasti, kun sitä käytetään yhtenäisiin perusvektoreihin. minä, j ja K, jotka generoivat vastaavasti kolme akselia xakseli y ja akseli z:

minä ´ j = K, j ´ minä = - K, j ´ K = minä, K ´ j = - minä, minä ´ K = - minä, K ´ minä = j

(Oikeanpuoleinen tai Korkkiruuvisääntö)

minä ´ minä = 0, j ´ j = 0, K ´ K = 0.

Nämä tekniset tiedot täyttävät esimerkiksi vääntömomentin laskentatarpeet. Matemaatikon kannalta on kuitenkin tyydytettävä uteliaisuus nähdä, mitä tapahtuu, jos kertolasku on jakautunut suhteessa lisäykseen. Yhdistämällä sitten fyysikkojen ja matemaatikkojen toiveet saamme vektorituotteen. Joten saadaksesi vektorin tuote z = (, b, C) ja w = (, B, C) jatka matemaattisesti seuraavasti:

z ´ w =

(i + bj + cK) ´ (i + Bj + Ck) = minä ´ i + minä ´Bj + minä ´ Ck + bj ´ i + bj ´ Bj + bj ´ Ck + CK ´ i + CK ´ Bj + CK ´ Ck = aA minä´i + ab minä´j + BC minä´k + ba j´i + bb j´j + bC j´ K + ca K´i + CB K´j + cc K´k = ab minä´j + ba j´i + BC minä´K + ca K´i + bC j´k + CB K´j = ab minä´j ba minä´j + BC minä´K ca minä´k + bC j´K CB j´k = (ab ba) minä´j + (BC ca) minä´k + (bC CB) j´k = (ab ba) k + (BC ca) (─ j) + (bC CB) i = (bC CB) minä ─ (BC ca) j + (ab ba) K.

Tarkastellaan koordinaattien "epäsymmetristä" yhdistelmää. Kerroimessa minä - kertoimet j ja alkaen K epäsymmetrisesti yhdistelty muodossa bC CB. Samoin kaksi muuta kerrointa saadaan samalla epäsymmetrisellä filosofialla. Kerroimen saamiseksi on miinusmerkki j Se näyttää hiukan salaperäiseltä. Syynä tähän signaaliin on tarve tyydyttää fyysikkojen halu ja matemaatikkojen halu, kuten olemme jo todenneet, mutta se näytti erittäin omituiselta, kunnes matemaatikot huomasivat, että se esiintyy luonnollisesti korkeammissa ulottuvuuksissa.

Tapahtui se, että tutkimalla yli kahden luokan matriisien determinantteja havaittiin, että on mahdollista kehittää luonnollisesti symmetrinen teoria, joka kolmiulotteessa näyttää tällä tavalla tällä miinusmerkillä tässä asennossa. Determinanttiteorian symmetria on tarkalleen antisymmetrisessä yhdistelmässä bC CB, BC ca ja ab ba kahden vektorin koordinaateista. Termi ─ (BC ca) selitetään luonnollisesti determinanttiteorian rakenteella, joka on suurempi kuin kaksi.

Yhteenvetona kysytään, kuinka voidaan selittää, että fyysikkojen toiveet eivät ole ristiriidassa matemaatikkojen toiveiden kanssa? Päinvastoin, kahden tyyppisten toiveiden yhdistymisellä näyttää olevan voimakas voima luonnon käyttäytymisen purkamiseen. Kuinka pitkälle Homo sapiens sapiens voi mennä läpi tämän avioliiton?

Yrittääksesi ymmärtää tätä tarinaa enemmän, katsotaanpa tarkemmin geometristä merkitystä, koska emme voi tehdä fyysisiä kokeita täällä vektorituotteella. Fyysikot halusivat sen minä ´ j = Kmutta tajusi, että tuotevektori K on suorakulmion alueen pituus, jonka muodostaa minä ja j. Yllättäen tämä kuvio on yleistetty, ts. Vektorituote z ´ w = (bC CB) minä ─ (BC ca) j + (ab ba) K on vektori, jonka pituus on yhdensuuntaisen kuvan muodostama alue z ja w avaruudessa. Tämä on huomattava tosiasia: alue, joka mittaa kaksiulotteisen kuvan, ilmestyy uudelleen kolmanteen ulottuvuuteen mittaamalla pituus. Vaikuttaa siltä, ​​että luonto toistaisi itsensä uusissa mitoissa samoilla mittauksilla kuin alemmissa mitoissa. Toisin sanoen tuotevektori z ´ w mittaa tekijöiden muodostaman alueen z ja w. Lisäksi tuote on orientoitunut, ts. Se on vektori, joka osoittaa hyvin määriteltyyn suuntaan, joka valitaan kahden mahdollisen välillä pyörimissäännön avulla. Jos laskemme w ´ z kierto on päinvastainen kuin nyt w että z”Ja saamme w ´ z = (CB bC) minä ─ (caBC) j + (baab) K. Joten me näemme sen w ´ z = ─ (z ´ w), jossa sanomme vektorituotteen olevan kommutatiivista.

Alue |z ´ w | = |z|.|w| Sen = |(bC CB) minä ─ (BC ca) j + (ab ba) K| : n muodostamasta suuntakuvasta z ja w on tärkeitä fyysisiä tulkintoja. Me päättelemme, että vaikka tuote asteikolla z . w = |z|.|w| cos = aA + bb + cc kahdesta vektorista z = (, b, C) ja w = (, B, C) mittaa yhden tyyppistä energiaa (esim. voiman suorittamaa työtä), vektorituote mittaa myös toisen tyyppistä energiaa, esim. vääntömomenttia, energiaa, joka tuottaa kiertoa. Siksi vektori voi edustaa luonnonilmiötä ja vektorien väliset operaatiot edustavat edelleen luonnonilmiöitä.

On siis väistämätöntä kysyä: mitkä muut vektorien väliset operaatiot edustavat luonnon ilmiöitä?

Mitkä vektorialgebrat kykenevät selvittämään luonnon käyttäytymisen?

Kuinka pitkälle Homo sapiens sapiens voi mennä tässä luonnon tutkinnassa?

Seuraavassa sarakkeessa tarkastellaan kuinka insinöörit hyödynivät kuviteltujen lukujen tavanomaista kertomista.

zw = |z| jaminäq |w| jaminäf = |z| |w| jaminä(q + f) = ( + bminä) ( + Bminä) = (aA - bb) + (ab + ba) minä

kun tutkitaan sähköpiirejä.

Takaisin sarakkeisiin

<