Artikkeleita

Ensisijaiset numerot aritmeettisessa etenemisessä


Tiedämme, että positiivinen kokonaisluku on ensisijainen, jos se on jaettavissa vain itsestään yhden yli. Alkuluvut ovat perustavanlaatuinen rooli aritmeettisessa suhteessa atomien rooliin aineen rakenteessa, toisin sanoen kokonaislukuja, jotka eivät ole lukuja. alkuluvut voidaan ilmaista alkulukujen tuloksena. Siksi mikä tahansa kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1, on joko alkuluku tai ilmaistu alkulukujen tuloksena.

Vaikka alkuluvun käsite yllä olevassa merkityksessä vaikuttaa itsestään selvältä, alkulukuihin liittyviin kysymyksiin ei yleensä ole helppo vastata nykyisessä matematiikan vaiheessa. Esimerkiksi jokainen pariton luku ilmaistaan ​​muodossa 4.x + 1 tai 4x + 3; Joten kysymme, mitkä ovat lomakkeen 4 serkutx + 1 ja mitkä ovat muodon 4 serkutx + 3. Jos generoimme yllä olevan muodon numeeriset sekvenssit, korvaamalla x positiivisilla kokonaislukuilla, tuloksena olevilla sekvensseillä on ääretön määrä alkulukuja.?

Alexandrian Euclid (noin 300 eKr.) Antoi erittäin nerokkaan osoituksen siitä, että alkulukuja on ääretön määrä. Samaa Euclidin esittämää väitettä voidaan käyttää osoittamaan muodon 4 serkkujen äärettömyyttä.x + 3. Koska 2 on ainoa parillinen alkuluku, parittomien alkulukujen joukko on jaettu kahteen perheeseen:

i) 5, 13,17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173 ...;

ii) 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131 139, 151,…

jossa ensimmäinen numerosarja viittaa muodon 4 serkkuihinx + 1 ja toinen muodostaen 4 serkkuax + 3. Osoitetaan, että on olemassa ääretön tyypin 4 serkkujax + 3 käyttämällä Euclidin menetelmää, joka osoittaa äärettömien serkkujen olemassaolon.

Oletetaan, että muodossa 4 oli äärellinen määrä alkulukujax + 3; nimitetään heidät q1, q2, q3,… , qn. Mieti positiivista kokonaislukua:

N = 4 q1.q2.q3qn - 1 = 4 q1.q2.q3qn - 4 + 3 = 4 ( q1.q2.q3qn- 1) + 3

ja lasketaan N = R1.R2.R3RM sen hajoaminen alkulukuiksi. Koska N on pariton kokonaisluku, siitä seuraa RK eroaa kaikista 2: sta K, ja kukin RK sen vuoksi se on muodoltaan 4x +1 tai 4x + 3. Kuitenkin kahden tai useamman muodon 4 kokonaisluvun tulox +1 johtaa myös tällaiseen kokonaislukuun, ts.

(4m + 1).(4n + 1) = 16mn + 4m + 4n + 1 = 4(mn + m + n) + 1 = 4z + 1.

Tästä seuraa, että N: llä on ainakin yksi muodon 4 alkutekijäx + 3, sanotaan Rminä = 4x + 3.

Nyt väitämme sen Rminä ei ole osa alkuperäistä rajallista alkulukujen luetteloa: q1, q2, q3,… , qn. Itse asiassa muuten meillä olisi Rminä = qjjoillekin serkkuille qj alkuperäisestä serkkulistamme ja sitten Rminä jakaisi tuotteen q1.q2.q3qn. Toisaalta oleminen Rminä kerroin N, Rminä jakaa N - 4 q1.q2.q3qn = -1. pian, Rminä jaa -1. Siksi päättelemme, että lomakkeen 4 serkkuja on ääretön määräx + 3 siis oletetaan, että muodossa 4 on äärellinen määrä alkuliskejäx + 3 johtaa meidät ristiriitaan.

Seuraava kysymys olisi: lomakkeen serkkuja on ääretön määrä 4x + 1? Vastaus on kyllä, mutta meidän on käytettävä toista väitettä. Samanlainen tilanne syntyy muodon 6 numerosekvensseistä.x +1 ja 6x + 5.

Huomaa, että jos luot muodon 4 numerosarjanx + 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87,… ,

Ero sekvenssin termin ja sen edeltäjän välillä on aina yhtä suuri kuin 4.

Sama pätee lomakkeen 4 sekvensseihinx + 1, 6x + 1 tai 6x + 5. Itse asiassa meillä on seuraava määritelmä: “a Aritmeettinen eteneminen on kokonaislukujen sarja, jossa eron termin (välillä 2).) ja edeltävä termi on aina sama ”.

Voisiko yleistää sen tosiasian, että joissain aritmeettisissa etenemisissä, kuten edellä mainituissa, on äärettömiä serkkuja?

Huomaa, että edellä mainitut etenemiset ovat seuraavat. b + kirves jossa ja b ovat kiinteitä ja x = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…, ts. Ne ovat muodoltaan

b, b + , b + 2, b + 3, b + 4,…

jos ja b on yhteinen tekijä, joten aritmeettinen eteneminen ei sisällä alkulukuja, koska jokaisella etenemisellä on tämä tekijä. Harkitse esimerkiksi aritmeettista etenemistä, joka on annettu 6 + 2: llax, eli

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…

Huomaa, että 2 on yleinen tekijä 2 ja 6, ja jokaisella etenemistermällä on luku 2 kertoimena. Tämä tosiasia viittaa siihen, että meidän pitäisi harkita etenemistä b + kirves mitä ja b olla alukkeet toisiinsa saadaksesi ääretön määrä alukkeita määritellyn mukaisesti b + kirves. Näyttää siltä, ​​että matemaatikko Legendre sai ensimmäisenä ymmärtämään tämän kysymyksen merkityksen, ja julkaisi vuonna 1808 seuraavan arvelun:Jos ≥ 2 ja b 0 ovat positiivisia kokonaislukuja ja alkulähteitä toisilleen, joten aritmeettisen etenemisen yhteydessä on lukuisia alkulukuja

b, b + a, b + 2a, b + 3,… ”

Tästä oletuksesta tuli merkittävä lause, ja Dirichlet osoitti sen vuonna 1837. Tulos oli monumentaalinen monumentaalinen. Dirichlet luottaa serkkujen äärettömyyteen Eulerin alkuperäiseen ajatukseen. Käytettiin vallankumouksellisia analyyttisiä menetelmiä, kuten ääretön sarja, sarjojen lähentyminen, rajat, logaritmit jne., Ja monia muita käsitteitä, jotka ovat tähän mennessä olleet vieraiden kokonaismäärän teoriassa vieraita. Dirichletin demonstraatiota pidetään yhtenä ensimmäisistä tärkeistä analyyttisten menetelmien sovelluksista lukuteoriassa ja se tarjosi uusia kehityslinjoja. Dirichletin väitteiden taustalla olevat ajatukset ovat luonteeltaan hyvin yleisiä ja auttoivat kehittämään seuraavaa työtä soveltaen analyyttisiä menetelmiä lukuteoriaan.

Vuonna 1949 matemaatikko Atle Selberg esitteli Dirichlet'n lauseen elementtisen demonstraation, joka oli samanlainen kuin hänen aikaisempi alkuluvun lause.

Dirichlet osoitti myös, että mikä tahansa kvadraatiomuoto kahdesta muuttujasta, ts. Mikä tahansa tyypin muoto kirves2 + bxy + CY2 jossa , b, c, ovat alukkeita toisilleen, muodostavat alkun äärettömyyden. Muista tavoista, joilla luodaan ääretön alkuluku, ei tiedetä paljon.

Toisaalta voimme osoittaa, että ei ole aritmeettista etenemistä, jossa kaikki ehdot ovat alkulukuja. Viime vuoteen saakka vanha avoin ongelma oli määritellä mielivaltaisesti pitkä, mutta äärellinen aritmeettinen eteneminen, jossa kaikki termit olivat alkulukuja.

Takaisin sarakkeisiin

<