Pian

Monimutkaiset numerot


Lukuteoria on matematiikan haara, joka tutkii luonnollisten lukujen tai positiivisten kokonaislukujen ominaisuuksia: 1, 2, 3, 4, 5,… Luonnolliset luvut syntyvät laskentaprosessista, ja on mahdotonta kuvitella ihmiskuntaa ilman kykyä laskea. . Luonnollisen lukumäärän käsite oli axiomatizado (aksioomat ovat lausuntoja, jotka hyväksytään nimellä varhaiset totuudet ilman esittelyä) vuonna 1889, jonka teki italialainen matemaatikko Giuseppe Peano (1858-1932), yhdessä ensimmäisistä modernin aksiomatiikan ja matemaattisen abstraktion ilmenemismuodoista. Matemaatikot laajensivat luonnolliset numerot kokonaislukuiksi, rationaaliksi, irrationaaliksi, komplekseiksi, kvaternionaaleiksi, oktonionaaleiksi, Cayleyn lukuiksi.

On mahdotonta kuvitella numeroteoriaa, jolla ei ole rikkaiden ja voimakkaiden monimuotoisen muuttujan funktioteorioita. Yksi tärkeimmistä esimerkeistä on kompleksisen muuttujan, nimeltään, toiminta Riemannin Zeta-toiminto joka antaa tietoa alkulukujen jakautumisesta. Sen määrittelee:

jossa s = C + minä d on monimutkainen numero ja C >1.

Tämä toiminto on avain osoittaen alkulukulause, joka toteaa, että luku , Prime p sellainen, että p on pienempi tai yhtä suuri kuin x, on suunnilleen

kun x Se on liian iso. Tämän lauseen ajattelivat Gauss ja Legendre, ja Hadamard ja La Vallée Poussin osoittivat sen vuonna 1898.

Monimutkaisten numeroiden historia on kiehtova. Historialliset tallenteet osoittavat, että vuoteen 2500 eKr. Sumerit jo tarvitsivat vähennyksen. Numerot, joista tunnemme negatiiviset kokonaisluvut ne ovat tulosta tietyistä vähennyksistä. Esimerkiksi nykyaikaisessa merkinnässä vähennysten 5-10 tulos on -5. Matemaatikot eivät ole historian aikana vastustaneet kerro negatiiviset luvut Numerojoukon muodostamiseksi kutsutaan tällä hetkellä kokonaislukujoukkoksi: {0, ± 1, ± 2, ± 3…}. Pythagolaiset (550 eKr.) Uskoivat, että maailma voidaan ymmärtää muodon syistä m/n (rationaalinen) kanssa m ja n luonnollinen ja n eroaa nollasta. Tämä maailmanmalli kuitenkin romahti, kun havaittiin, että neliön diagonaalin mittaus, jonka sivujen mitat ovat 1, on . nyt Ei luonnollinen syy! Pythagolaiset löysivät myös monia muita tämän tyyppisiä: , , , ,…

Siksi matemaattisen tutkimuksen luontaisten tarpeiden takia luonnollisten lukujen maailmankaikkeus on laajentunut laajalti. Keskellä algebraa kehitettäessä italialaiset matemaatikot tutkivat erityyppisiä yhtälöitä ja luokittelivat ratkaisunsa. Tämä tutkimus osoitti, että joillain yhtälöillä ei ollut ratkaisua tunnettujen lukujen suhteen. Yksi ongelmista koostui yhtälön x² + 1 = 0 ratkaisemisesta. Tällä yhtälöllä ei vaikuttanut olevan ratkaisua, koska se oli ristiriidassa sen tosiasian kanssa, että jokainen todellinen luku kuin nolla, kun se on neliö, on positiivinen. Intialaiset ja arabilaiset matemaatikot, kohdatessaan näitä yhtälöitä, kieltäytyivät määrittelemästä mitään symbolia negatiivisen luvun neliöjuuren ilmaisemiseksi, koska he pitivät ongelmaa täysin merkityksettömänä. Negatiivisten lukujen neliömäiset juuret alkoivat algebrallisissa tekstissä näkyä 1500-luvulla, mutta kirjoittajat korostivat, että ilmaisut olivat merkityksettömiä ja käyttivät termejä, kuten "kuvitteellista", "mahdotonta", "hienostunutta" mainitakseen ne. Saksalainen matemaatikko Leibniz (1646-1716), eräs differentiaalisen laskennan keksijöistä, piti -1: n neliöjuureksi tietyn metafyysisen luonteen tulkitsemalla sen "jumalallisen hengen" ilmentymäksi; Sama hämmästys tuntui sveitsiläiseltä matemaatikolla Lenhard Euler.

Jotkut eurooppalaiset matemaatikot, etenkin italialaiset Gerolamo Cardano ja Rafaello Bombelli, esittelivät Algebrassa monimutkaisia ​​numeroita 1500-luvulla, kun he olettivat negatiivisten lukujen neliöjuurten olemassaolon, vaikka he pitivät näitä juuria mahdottomina lukuina ja siten , soita heille ”kuvitteellisiksi numeroiksi”. Tästä syystä kuvitteellisten lukujen nimi pysyy tänä päivänä, kun tarkoitamme negatiivisten lukujen neliöjuuria. Posuloidaan negatiivisten kokonaislukujen neliöjuurten olemassaolo ja oletetaan, että minä on yhtälön ratkaisu x² + 1 = 0, toisin sanoen aksiomaatio minä tyydyttää suhde minä² = -1, voit suorittaa toimintoja, joihin liittyy minä ja todelliset luvut. Joten kaikista positiivisista todellisista numeroista , negatiivisen luvun neliöjuuri - é minä , eli = minä . Ottaen huomioon todelliset luvut C ja d, voimme kertoa d mennessä minä ja saada minä d, ja lisää C saada C + minä d. Yleensä kaikki kompleksiluvut kirjoitetaan C + d minäjossa C kutsutaan ”todelliseksi osaksi” ja d "Kuvitteellinen osa". Joten saamme lomakkeen numerot C + minä d muodostaen joukko monimutkaisia ​​numeroita. Monimutkaisten lukujen joukossa voimme lisätä ja kertoa muodostamalla algebrallisen rakenteen nimeltä monimutkaisten numeroiden runko.

Matemaatikot edustavat usein reaalilukuja pisteinä linjalla, jota kutsutaan todelliseksi viivaksi, jossa jokainen piste vastaa yhtä todellista lukua ja kukin reaaliluku yhdistää yhden pisteen kyseisellä rivillä. Koska negatiivisen luvun neliöjuuria ei voida esittää tällä viivalla, umpikuja jatkui 1800-luvulle saakka. Ensimmäinen ehdotti visualisointi Komplekseista, jotka tunnistivat ne pisteinä kaksiulotteisessa tasossa, oli norjalainen itseopiskelija Caspar Wessel vuonna 1797. Tämän ajatuksen löysi uudestaan ​​sveitsiläinen kirjanpitäjä Jean-Robert Argand, joka julkaisi kirjan vuonna 1860 aiheesta, ja myös saksalainen matemaatikko Karl. Friedrich Gauss. Koska reaalisen viivan pistettä oli mahdotonta liittää negatiivisen luvun neliöjuureen, ongelma ratkaistiin yhdistämällä kuvitteelliset numerot pisteisiin, jotka ovat suorassa kohtisuorassa viivalla kohtisuorassa linjaan, kulkevat nollan läpi, ja siten luomalla Cartesian koordinaatisto. . Tässä järjestelmässä reaaliluvut sijoitetaan vaaka-akselille, jota kutsutaan todellinen akseli, ja kaikki todelliseen viivaan nähden kohtisuoran viivan kuvitteelliset numerot, jotka kulkevat vaakasuuntaisen todellisen viivan nollan läpi, kutsutaan kuvitteellinen akseli. kuten = = minä , kaikki kuvitteelliset numerot voidaan sijoittaa kuvitteelliseen akseliin kerrannaisena minä = . Siksi ei vain kuvitteellisella ole graafista esitystä, vaan reaalisen ja kuvitteellisen, ts. Kompleksilukujen mahdolliset yhdistelmät esitetään reaalisen ja kuvitteellisen akselin määrittelemän tason pisteillä, joita kutsutaan monimutkainen suunnitelma.

Gaussin lahjakkuus ja nero johti matematiikan perusteellisimpiin tuloksiin, Fundamental Algebra -lauseeseen, jonka mukaan jokaisella polynomiyhtälöllä on ratkaisu kompleksilukujen joukossa. Tämän erittäin tärkeän tuloksen lisäksi monimutkainen lukualgebra on antanut aihetta uudelle tutkimusalueelle - Kompleksianalyysi - jolla on avainasemassa algebran ja lukuteorian kehittämisessä. Monimutkaiset luvut edustavat yhtä tärkeimpiä tieteen rakenteita. Nykyään on mahdotonta kuvitella sähkötekniikkaa, aerodynamiikkaa tai fluididynamiikkaa ilman monimutkaisia ​​lukuja. Kvanttimekaniikka hyödyntää monimutkaisia ​​lukuja ja Einsteinin suhteellisuusteoriassa kolmiulotteinen tila nähdään todellisena ja aikatieteellinen ulottuvuus kuvitteellisena.

Takaisin sarakkeisiin

<


Video: Lectia BAC 3 anul 2015 - Matematica - Pedagogie- Simulare (Kesäkuu 2021).