Tiedotus

Alkulukujen jakauma


Teemme nyt koeajan yhdelle numerointeorian vanhimmista ja mielenkiintoisimmista alueista: alkulukujen jakauma. Tämä tutkimus on kiehtonut miesten mielenkiintoa klassisesta antiikista lähtien: Kuinka alkuluvut jakautuvat kokonaislukuihin?

Algarvujen jakauman tutkiminen kehitti kompleksisen muuttujan funktion teorian, erityisesti kokonaislukufunktion teorian. Tämän tutkimuksen kehittämisen aikana on syntynyt syviä algebran ja analyysimenetelmiä, mutta ne eivät aina tuota odotettua menestystä. Toisaalta jotkut tärkeimmistä tuloksista voidaan saada yllättävän yksinkertaisin, mutta nerokkain päättelyin, kuten Euclidin osoittamalla alkulukujen joukon äärettömyyttä.

Ensinnäkin meidän on tiedettävä, mikä algarvolla on kaikessa lukuteorian kannalta oleellinen käsite. Kaksi kokonaislukua, niiden summa, ero ja tuotteesi ovat myös kokonaislukuja. Yhden kokonaisluvun jakaminen toisella ei voi kuitenkaan johtaa kokonaislukuun, esimerkiksi kokonaislukua 5 jakamalla kokonaisluvulla 3 tulos ei ole kokonaisluku. Pyrkimykset rakentaa joukkoja, jotka tuottavat tuloksia toivotuista operaatioista, johtivat matemaatikot peräkkäisiin yleisiin lukumääriin. Esimerkiksi, jos tarkastellaan rationaalisten lukujen joukkoa, toisin sanoen murto-osia a / bjossa ja b ovat kokonaislukuja, ja b ¹ 0, joten jako-osamäärä määritetään aina, eli (a / b) ¸ (c/ d) = (ab)/(CD). Kuitenkin tietoja kokonaislukuja ja b, jos on kokonaisluku q sellainen, että a = bq me sanomme sen on jaettavissa b, tai se b jaettu . Numero b on numerojakaja ja numero on luvun monikerta b. Osoitamme usein sen tosiasian b jaettu seuraavasti: b½. Esimerkiksi 2½4 (lue 2 halkaisu 4), 4 on kahden kerrannainen ja 2 on jako 4.

Jokainen positiivinen kokonaisluku joka on suurempi kuin 1, on kaksi ilmeistä jakajaa, 1 ja itse . Jos näiden jakajien ulkopuolella kokonaisluku oma toinen jakaja sanotaan b, 1< b < sitten Sitä kutsutaan yhdistelmäksi. Muuten kokonaisluku sitä kutsutaan alkuluku, tai yksinkertaisesti serkku. Esimerkiksi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ovat alkuluvut, koska niillä on tarkalleen kaksi jakajaa. Numerolla 6 on jakajina 1, 2, 3 ja 6, ja siksi sitä kutsutaan yhdiste numero. Siksi, lukuun ottamatta yhtä, luonnolliset numerot niiden jakautumiskäyttäytymisen suhteen on jaettu kahteen numeerisoon: alkuluvut ja yhdiste numerot.

Kun kertomme alkuluvut, saamme yhdistelmänumeron ja päinvastoin, kun eristämme alijakoiset lukusta me edustamme tärkeimpien tekijöiden tuloksena, ts. Esimerkiksi luku 90 on jaollinen 2: lla, joten saadaan: 90 = 2 x 45. Vuorostaan ​​45 on jaollinen 3: lla ja sitten 45 = 3 x 15. Jos jatkamme tätä prosessia, saadaan: 90 = 2 x 3 x 3 x 5.

Mielenkiintoinen kysymys on, onko tämä hajoaminen ainutlaatuinen. Vastaus on kyllä, ts. Mikä tahansa positiivinen kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tuloksena, ja tämä esitys on ainutlaatuinen, paitsi tekijöiden järjestyksessä. Tästä syystä alkulukuja kutsutaan usein kokonaislukumalliksi.

Huomaamme, että on olemassa monia joukkoja, joissa on lisäys- ja kertolaskuprosesseja, joissa hajoaminen alkeiskertoimiksi ei ole ainutlaatuista, palaamme tähän aiheeseen muissa sarakkeissa.

Kokonaislukujen esittäminen serkkujen tuotteena on kauan pidetty ilmeisenä tosiasiana, mutta matemaatikko Gauss on osoittanut tämän lausunnon kuuluisassa teoksessaan. Disquisitiones Arithmeticae 1801. Tätä lausumaa kutsutaan perusaritmeettiseksi lauseeksi (APT), tai ainutlaatuinen factorization.

Tämä lause osoittaa, että alkuluvut muodostavat kertolaskujen. Joidenkin tämän emäksen ominaisuuksien tunteminen on erittäin tärkeää, koska tämä vastaa tiettyjen alkulukujen ominaisuuksien tuntemista. Ensimmäinen esiin nouseva kysymys liittyy alkulukujen äärettömyyteen, eli onko alkeislukujen ääretön määrä? Vastaus on kyllä, ja tämän lauseen osoitti Euclid:

Oletetaan, että alkulukujen joukko, P, olla äärellinen. Olkoon r alkuluvun tarkka lukumäärä, ts. Sarjan kardinaalisuus P. Tässä tapauksessa ,… Asti joka on suurin (ja viimeinen) alkuluku. Siksi korostamme, että sarja P sisältää kaikki olemassa olevat alkuluvut. Harkitse nyt uutta kokonaislukua n = TFA: n mukaan sitä ei voida ottaa huomioon, n = missä serkut ovat sarjan elementtejä P ja k> 1. Tästä seuraa ½n, jossa on sarjan serkku P. siksi joillekin j, joissa 1 £ j £ r. siis ½ . siksi ½n e ½ ; pian ½n - . Toisaalta n - = 1 ja siten ½n - = 1, ts ½1päinvastoin kuin alkuluvun määritelmä. Tämä ristiriita osoittaa, ettei äärellistä joukkoa ole P voi sisältää kaikki alkuluvut.

Toinen erittäin mielenkiintoinen kysymys, joka liittyy alkulukuihin, liittyy alkulukujen esiintymistiheyteen niiden luonnollisessa esiintymisjärjestyksessä numerojoukossa. luonnollinen. Toisin sanoen kuinka monta alkulukua on luonnollisten lukujen 1, 2,… välillä, X kun X onko se iso numero? Tämä luku, joka yleensä riippuu X, on merkitty p (X), ts. p (X) on vähemmän kuin tai yhtä suuri kuin serkkujen lukumäärä X. Esimerkiksi p (4) = 2, p (7) = 4.

Ensimmäinen oletus p: n suuruudesta (X) funktiona X valmistivat matemaatikot Gauss ja Legendre itsenäisesti 1700-luvun lopulla. Laajojen laskelmien perusteella Gauss ja Legendre väittivät, että

p (X) ~ X / loki X,

eli p (X) on suunnilleen X / loki X kun X Se on erittäin suuri luonnollinen luku. Tämä arvaus viittaa siihen, että p: n (X) kirjoittanut X / loki X pyrkii rajoittamaan yhtä, kun X yleensä äärettömyyteen. Tätä formulaatiota kutsutaan Prime-lukulauseeksi, ja de la Vallée - Poussin ja Hadamard osoittivat sen itsenäisesti vuonna 1896 käyttämällä tehokkaita uusia analyyttisiä menetelmiä monimutkaiselle muuttujien teorialle. Vuonna 1948 Atle Selberg ja Paul Erdös pitivät toisen mielenosoituksen käyttämättä monimutkaista muuttujateoriaa. Monet matemaatikot osallistuivat Prime Number -lauseen osoittamiseen: Riemann, Mertens, von Mangoldt, Hadamard, de la Vallée-Poussin, Tchebychev jne. Tämä oli yksi yhdeksästoista luvun matematiikan suurimmista saavutuksista ja johti analyyttisen lukuteorian laatimiseen.

Takaisin sarakkeisiin

<


Video: Konnektiivit (Kesäkuu 2021).