Kommentit

Haastevastaus 35


Lahjan hinta

Vierailijan lähettämä ratkaisu Renato Santos:

Olkoon lahjan hinta ilmaistu nelinumeroinen luku, unohtamatta penniäkään, kuten abcd (ts. Abcd, 00), missä on 1 tai 0 (jos abcd, 00 on pienempi tai yhtä suuri kuin 1 200 dollaria) ja b, c ja d ovat tietysti välillä 0–9. Lue päinvastoin, lahjan hinta olisi dcba, jonka pitäisi olla arvo yhdeksästä lahjasta.

Jotta nämä tiedot olisivat tasavertaisia, meidän on otettava huomioon paikannus desimaalilla, ts. Abcd tarkoittaa tuhatta, b sataa, c kymmeniä ja d yksikköä tai 1000a + 100b + 10c + d. Samoin dcba tarkoittaa 1000d + 100c + 10b + a. Se näyttää tältä:

1000d + 100c + 10b + a = 9 (1000a + 100b + 10c + d)
tai
1000d + 100c + 10b + a = 9000a + 900b + 90c + 9d

ratkaiseminen:
(1000 - 9) d + (100 - 90) c + (10 - 900) b + (1-9 000) a = 0
tai
991d + 10c -890b -8999a = 0

Huomaa, että 991: llä ja 10: llä ei ole yhteisiä tekijöitä, joten emme voi tässä tapauksessa vähentää yhtälön kertoimia. Meillä on tässä yksi yhtälö neljällä tuntemattomalla. Yksi strategia olisi korvata alustavat arvot a, b, c ja d.

Diophantuksen tavoin voidaan kuitenkin jatkossa käyttää jatkuvaa fraktioalgoritmia:

Jäimme eristämään termin pienimmällä kerroimella:

10c = 8999a + 890b - 991d

Jaamme koko yhtälön kertoimella:

c = (8999/10) a + (890/10) b - (991/10) d

Koko osien erottaminen fraktioista

c = 899a + (9/10) a + 89b - 99d - (1/10) d
tai
c = 899a + 89b - 99d + (1/10) (9a - d)

Koska a, b ja c on oltava kokonaislukuja, (1/10) (9a-d) on myös oltava. Tämä tietysti tapahtuu vain, jos (9a-d) on 10-kertainen.

Koska a, b, c ja d edustavat kuitenkin nykyisen arvon numeroita, niiden on oltava välillä 0 - 9. Tällä rajoituksella (9a-d) voi olla vain triviaalinen monikerta 10, toisin sanoen 0.

Näyttää siltä, ​​että 9a - d = 0
tai
d = 9a

Palauttamalla tämä tulos edelliseen yhtälöön, saamme
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10) (9a - 9a)
tai
c = 899a + 89b - 891a
c = 8a + 89b

Koska c on 0 - 9 ja a: n ja b: n kertoimet ovat positiivisia, seuraa, että b: n on oltava yhtä suuri kuin 0 niin, että c ei ylitä 9: tä.
c = 8a

Muistakaamme myös, että a on 1 tai 0.

Mutta a = 0 johtaa triviaaliseen tapaukseen a = 0, b = 0, c = 0 ja d = 0, ts. Hinta 0000,00 dollaria ja oikein 9 x 0000 $ 00 = 0000 $ 00.

Sitten meillä on a = 1, joka johtaa c = 8: een ja palaamalla edelliseen yhtälöön d = 9a => d = 9.

Siten saamme vihdoin lahjan hintaksi ($ abcd, 00) 1089,00 dollaria, mikä käänteisesti tuloksena on 9801 dollaria = 9 x 1089 dollaria, kuten halutaan.

VASTAUS: Lahja maksoi 1089 dollaria

Vierailijan lähettämä ratkaisu Paulo Martins Magalhães:

Jos lahjalle varattu summa oli 1 200 dollaria, meidän on oletettava, että hinta oli noin 1 000 dollaria.

Joten etsimme 4-numeroista numeroa, 1 oli ensimmäinen. Viimeinen numero voi olla vain 9, koska vasta sitten voimme kääntää luvun ja saada 9 kertaa ensimmäinen.

Siten tiedämme, että luku on 1ab9.

A ja b löytäminen on suhteellisen helppoa, koska luku on 9-kertainen, koska sen käänteinen arvo on sama (koska se on luku, jonka arvo on yhdeksänkertainen nykyisen hintaan). Joten meillä on numero 1ab9. Jotta tällainen luku olisi 9: n kerrannainen, summan a + b on oltava 8. Parit a ja b, jotka täyttävät tämän ehdon, ovat seuraavat: 0 ja 8; 1 ja 7; 2 ja 6; 3 ja 5; 4 ja 4; 5 ja 3; 6 ja 2; 7 ja 1 ja lopulta 8 ja 0.

Ensimmäisen parin testaaminen, mikä vaikuttaa loogisemmalta, koska hinta on alle 1200 dollaria, saamme 1 089 dollaria, mikä on lahjan hinta. (1089 X9 = 9801).

Takaisin lausuntoon


Video: Fanipostia nr. 1 faneilta (Heinäkuu 2021).